Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.


Teorema de la primera derivada

1.- Si f ‘ (x) cambia en c de negativa (decreciente) a positiva (creciente), entonces f (c) es un mínimo relativo de f. 

2.- Si f ‘ (x) cambia en c de positiva (creciente) a negativa (decreciente), entonces f (c) es un máximo relativo de f


A continuación se mostrara un ejercicio para ejemplificar el criterio de primera derivada:


Tenemos la siguiente función: 


El primer paso será derivar esta función, lo cual resulta:

El segundo paso será igualar la primera derivada de la función a cero, lo cual resulta: 



El cuarto paso será despejar x, resultando: 


Como podemos observar nuestra función solo tiene un punto critico (0.5).


El quinto paso será reemplazar el punto critico en nuestra función para encontrar el valor de esta.

Como podemos observar el valor de nuestra función es 1.25.



Como sexto aplicaremos el criterio de la primera derivada para saber si este punto critico es máximo o mínimo y los intervalos en los que la función es creciente o decreciente, esto lo haremos en una tabla de donde en medio ira nuestro punto critico (0.5) y en los dos extremos ira un valor mayor y un valor menor a nuestro punto critico.

Reemplazamos el punto critico en los valores de los extremos en la derivada de la función que antes habíamos encontrado para saber si f es creciente o decreciente.

Sabremos que es creciente cuando el signo es + y decreciente cuando el signo es - .


f es decreciente



f es creciente

Entonces, habiendo encontrado los puntos máximos y mínimos vamos a ubicar estos en una grafica, para corroborar que los resultados puestos en nuestra tabla sea correctos.




Como podemos observar la función es decreciente es decir, va tomando valores menores hacia el punto critico, y una vez llegado a este, empieza a tomar valores mayores. Entonces podemos decir que la información contenida en nuestra tabla es verdadera y por tanto el punto critico (0.5) es un mínimo.